Aufgabenbeispiele von Teilbarkeit
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alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 20 an:
Wir suchen alle Teiler von 20. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 20 ist, teilen wir 20 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 20 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 20, denn 20 = 1 ⋅ 20, also ist auch 20 ein Teiler.
2 ist Teiler von 20, denn 20 = 2 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
3 ist kein Teiler von 20, denn 20 = 3 ⋅ 6 + 2.
4 ist Teiler von 20, denn 20 = 4 ⋅ 5, also ist auch 5 ein Teiler.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil wir ja bereits 5 bei den größeren Teiler drin haben, also kann es jetzt keine weiteren (kleine) Teiler mehr geben.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 20:
1, 2, 4, 5, 10, 20
Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 25⬜0 durch 3 teilbar ist.
Um die Teilbarkeit durch 3 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:
2 + 5 + ⬜ + 0 = 7 + ⬜ Wir suchen also eine Dreierzahl, die größer oder gleich 7 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 9. Wenn also 7 + ⬜ = 9 sein soll, rechnen wir 9 - 7 = 2 Somit ist eine mögliche Lösung 2Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:
0: Dann wäre die Zahl 2500, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 0 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.
1: Dann wäre die Zahl 2510, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 1 + 0 = 8, also nicht durch 3 teilbar.
2: Dann wäre die Zahl 2520, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 2 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 2530, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 3 + 0 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 2540, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 4 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 2550, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 5 + 0 = 12, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 2560, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 6 + 0 = 13, also nicht durch 3 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 2570, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 7 + 0 = 14, also nicht durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 2580, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 8 + 0 = 15, also durch 3 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 2590, für die Quersumme gilt dann: 2 + 5 + 9 + 0 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 2, 5 und 8.
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 152⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 2⬜.
Bei den 20er-Zahlen muss ja 0, 4 oder 8 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 20, 24, 28 durch 4 teilbar sind.
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
0: Dann wäre die Zahl 1520, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 2 + 0 = 8, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1524, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 2 + 4 = 12, also durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1528, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 2 + 8 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 4.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 15 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 15 bilden:
2 + 13 = 15, dabei ist 13 auch eine Primzahl
2 und 13 wären also zwei Primzahlen mit 2 + 13 = 15
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 55 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 55 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
55
= 5 ⋅ 11
Primfaktorzerlegung + Teiler
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 105 und gib alle Teiler von 105 an:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 105 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
105
= 3 ⋅ 35
= 3 ⋅ 5 ⋅ 7
Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 105 :
1 Teiler
3 = 35 = 5
7 = 7
2 Teiler
3 ⋅ 5 = 153 ⋅ 7 = 21
5 ⋅ 7 = 35
3 Teiler
3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 105:
1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105