Aufgabenbeispiele von Teilbarkeit
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alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 21 an:
Wir suchen alle Teiler von 21. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 21 ist, teilen wir 21 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 21 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 21, denn 21 = 1 ⋅ 21, also ist auch 21 ein Teiler.
2 ist kein Teiler von 21, denn 21 = 2 ⋅ 10 + 1.
3 ist Teiler von 21, denn 21 = 3 ⋅ 7, also ist auch 7 ein Teiler.
4 ist kein Teiler von 21, denn 21 = 4 ⋅ 5 + 1.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 5 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 5 ⋅ 5
= 25 > 21, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 21:
1, 3, 7, 21
Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 1⬜10 durch 3 teilbar ist.
Um die Teilbarkeit durch 3 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:
1 + ⬜ + 1 + 0 = 2 + ⬜ Wir suchen also eine Dreierzahl, die größer oder gleich 2 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 3. Wenn also 2 + ⬜ = 3 sein soll, rechnen wir 3 - 2 = 1 Somit ist eine mögliche Lösung 1Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:
0: Dann wäre die Zahl 1010, für die Quersumme gilt dann: 1 + 0 + 1 + 0 = 2, also nicht durch 3 teilbar.
1: Dann wäre die Zahl 1110, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 1 + 0 = 3, also durch 3 teilbar.
2: Dann wäre die Zahl 1210, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 1 + 0 = 4, also nicht durch 3 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 1310, für die Quersumme gilt dann: 1 + 3 + 1 + 0 = 5, also nicht durch 3 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1410, für die Quersumme gilt dann: 1 + 4 + 1 + 0 = 6, also durch 3 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 1510, für die Quersumme gilt dann: 1 + 5 + 1 + 0 = 7, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 1610, für die Quersumme gilt dann: 1 + 6 + 1 + 0 = 8, also nicht durch 3 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 1710, für die Quersumme gilt dann: 1 + 7 + 1 + 0 = 9, also durch 3 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1810, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 1 + 0 = 10, also nicht durch 3 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 1910, für die Quersumme gilt dann: 1 + 9 + 1 + 0 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 1, 4 und 7.
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 127⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.
Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 1272, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 7 + 2 = 12, also durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 1276, für die Quersumme gilt dann: 1 + 2 + 7 + 6 = 16, also nicht durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 2.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 28 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 28 bilden:
2 + 26 = 28, dabei ist 26 aber keine Primzahl
3 + 25 = 28, dabei ist 25 aber keine Primzahl
5 + 23 = 28, dabei ist 23 auch eine Primzahl
5 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 5 + 23 = 28
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 60 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 60 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
60
= 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Primfaktorzerlegung + Teiler
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 66 und gib alle Teiler von 66 an:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 66 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
66
= 2 ⋅ 33
= 2 ⋅ 3 ⋅ 11
Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 66 :
1 Teiler
2 = 23 = 3
11 = 11
2 Teiler
2 ⋅ 3 = 62 ⋅ 11 = 22
3 ⋅ 11 = 33
3 Teiler
2 ⋅ 3 ⋅ 11 = 66Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 66:
1; 2; 3; 6; 11; 22; 33; 66