Aufgabenbeispiele von Teilbarkeit
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alle Teiler einer Zahl
Beispiel:
Gib alle Teiler von 70 an:
Wir suchen alle Teiler von 70. Dabei beginnen wir mit der 1 und testen die weiteren Zahlen.
Wenn eine Zahl ein Teiler von 70 ist, teilen wir 70 durch diese Zahl und erhalten so automatisch einen weiteren Teiler. Wir erhalten so also immer Teiler-Paare mit einem größerem und einem kleineren Teiler (die multipliziert wieder 70 ergeben).
Somit genügt es, nur die kleineren Teiler zu finden, weil wir ja so die Größeren automatisch mit erhalten.
1 ist Teiler von 70, denn 70 = 1 ⋅ 70, also ist auch 70 ein Teiler.
2 ist Teiler von 70, denn 70 = 2 ⋅ 35, also ist auch 35 ein Teiler.
3 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 3 ⋅ 23 + 1.
4 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 4 ⋅ 17 + 2.
5 ist Teiler von 70, denn 70 = 5 ⋅ 14, also ist auch 14 ein Teiler.
6 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 6 ⋅ 11 + 4.
7 ist Teiler von 70, denn 70 = 7 ⋅ 10, also ist auch 10 ein Teiler.
8 ist kein Teiler von 70, denn 70 = 8 ⋅ 8 + 6.
Jetzt können wir das Ausprobieren beenden, weil ja 9 kein kleinerer, sondern nur ein größerer Teiler sein könnte
- schließlich ist 9 ⋅ 9
= 81 > 70, aber die größeren Teiler haben wir ja bereits alle bei den kleineren mit erhalten.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 70:
1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
Teilbarkeitsregeln rückwärts (leicht)
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 189⬜ durch 9 teilbar ist.
Um die Teilbarkeit durch 9 zu überprüfen, berechnen wir die Quersumme der Zahl, also:
1 + 8 + 9 + ⬜ = 18 + ⬜ Wir suchen also eine Neunerzahl, die größer oder gleich 18 ist. In diesem Fall ist das die nächste Zahl 18. Wenn also 18 + ⬜ = 18 sein soll, rechnen wir 18 - 18 = 0 Somit ist eine mögliche Lösung 0.Alternativ können wir auch alle Ziffern ausprobieren:
0: Dann wäre die Zahl 1890, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 0 = 18, also durch 9 teilbar.
1: Dann wäre die Zahl 1891, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 1 = 19, also nicht durch 9 teilbar.
2: Dann wäre die Zahl 1892, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 2 = 20, also nicht durch 9 teilbar.
3: Dann wäre die Zahl 1893, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 3 = 21, also nicht durch 9 teilbar.
4: Dann wäre die Zahl 1894, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 4 = 22, also nicht durch 9 teilbar.
5: Dann wäre die Zahl 1895, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 5 = 23, also nicht durch 9 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 1896, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 6 = 24, also nicht durch 9 teilbar.
7: Dann wäre die Zahl 1897, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 7 = 25, also nicht durch 9 teilbar.
8: Dann wäre die Zahl 1898, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 8 = 26, also nicht durch 9 teilbar.
9: Dann wäre die Zahl 1899, für die Quersumme gilt dann: 1 + 8 + 9 + 9 = 27, also durch 9 teilbar.
Die möglichen Ziffern sind also 0 und 9.
Teilbarkeitsregeln rückwärts
Beispiel:
Bestimme eine Ziffer, die man für das Kästchen ⬜ einsetzen kann, damit 117⬜ sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist.
1. Wir schauen zuerst, welche Ziffern möglich sind, dass die Zahl durch 4 teilbar ist.
Dazu müssen wir ja nur die letzten beiden Stellen betrachten, also 7⬜.
Bei den 70er-Zahlen muss ja 2 oder 6 an der Einerstelle stehen, weil eben nur 72, 76 durch 4 teilbar sind.
2. Diese verbleibenden Möglichkeiten überprüfen wir nun noch auf Teilbarkeit durch 3.
2: Dann wäre die Zahl 1172, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 7 + 2 = 11, also nicht durch 3 teilbar.
6: Dann wäre die Zahl 1176, für die Quersumme gilt dann: 1 + 1 + 7 + 6 = 15, also durch 3 teilbar.
Die einzige mögliche Ziffer ist also 6.
Summe von Primzahlen
Beispiel:
Schreibe 26 als Summe von zwei Primzahlen:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie mit einer weiteren Primzahl die Summe von 26 bilden:
2 + 24 = 26, dabei ist 24 aber keine Primzahl
3 + 23 = 26, dabei ist 23 auch eine Primzahl
3 und 23 wären also zwei Primzahlen mit 3 + 23 = 26
Primfaktorzerlegung
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 55 :
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 55 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
55
= 5 ⋅ 11
Primfaktorzerlegung + Teiler
Beispiel:
Bestimme die Primfaktorzerlegung von 120 und gib alle Teiler von 120 an:
Wir testen der Reihe nach alle Primzahlen, ob sie Teiler von 120 sind und zerlegen dann immer die Zahl in die Primzahl und den anderen Faktor:
120
= 2 ⋅ 60
= 2 ⋅ 2 ⋅ 30
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 15
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
Jetzt suchen wir mithilfe dieser Primfaktorzerlegung alle Teiler von 120 :
1 Teiler
2 = 23 = 3
5 = 5
2 Teiler
2 ⋅ 2 = 42 ⋅ 3 = 6
2 ⋅ 5 = 10
3 ⋅ 5 = 15
3 Teiler
2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 82 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30
4 Teiler
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 242 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 40
2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 60
5 Teiler
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120Dazu kommt natürlich immer noch die 1, die ja von jeder Zahl ein Teiler ist.
Richtig sortiert ergibt sich also für die Teilermenge von 120:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120