Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

150 dm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 150 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 150, also 25 ergeben.

25 dm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 5 dm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 9 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe (wofür beim rechtwinkligen Dreieck die Katheten benutzt werden können)
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 6 cm = 21 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 21 cm² ⋅ 9 cm = 189 cm³

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{5}{2}$)² = 5² |-($\frac{5}{2}$)²

h_c² = 5² - ($\frac{5}{2}$)² = 5² - 2.5² = 25 - 6.25= 18.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{\mathrm{18,75}}$ ≈ 4.33

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 5 ⋅ 4.33 ≈ 10.8

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
G = a² = 25 ≈ 10.8

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=50 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 10.8 mm² ⋅ 50 mm ≈ 541.3 mm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{160}}{\mathrm{40}}$ ≈ 4

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$x² = $\frac{1}{4}$x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 4 einsetzen:

4 ≈ $\frac{1}{4}$x² | ⋅4

16 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{16}}$ ≈ 4

Für x = 4 m ist somit die Grundfläche G ≈ 4 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 160 m³