Das Volumen des Quaders berechnet man durch Multiplizieren der Seitenlängen: V = a ⋅ b ⋅ c
Bei einem Würfel sind ja alle Kantenlängen gleich, also gilt hier
V = a ⋅ a ⋅ a = a³

Es gilt somit:

64 dm³ = ⬜³

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 4 dm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 7 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 7 cm ⋅ 9 cm = 31.5 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 31.5 cm² ⋅ 7 cm = 220.5 cm³

Wir berechnen natürlich zuerst den Flächeninhalt der abgebildeten Grundfläche und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{\mathrm{11}}{2}$)² = 8² |-($\frac{\mathrm{11}}{2}$)²

h_c² = 8² - ($\frac{\mathrm{11}}{2}$)² = 8² - 5.5² = 64 - 30.25= 33.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{\mathrm{33,75}}$ ≈ 5.809

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 11 ⋅ 5.809 ≈ 32

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=90 cm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 32 cm² ⋅ 90 cm ≈ 2875.7 cm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{2805.9}}{\mathrm{80}}$ ≈ 35.07

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ($\frac{x}{2}$)² = x² |-($\frac{x}{2}$)²

h_c² = x² - ($\frac{x}{2}$)² = x² - $\frac{1}{4}$x² = $\frac{3}{4}$x²

Daraus ergibt sich:

h_c = x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ x ≈ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 35.07 einsetzen:

35.07 ≈ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

81 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{81}}$ ≈ 9

Für x = 9 m ist somit die Grundfläche G ≈ 35.1 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 2805.9 m³