Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

24 dm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 24 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 24, also 4 ergeben.

4 dm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 2 dm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 6 cm nach oben ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 12 cm ⋅ 6 cm = 36 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 36 cm² ⋅ 6 cm = 216 cm³

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{9}{2}$)² = 9² |-($\frac{9}{2}$)²

h_c² = 9² - ($\frac{9}{2}$)² = 9² - 4.5² = 81 - 20.25= 60.75

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{\mathrm{60,75}}$ ≈ 7.794

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 9 ⋅ 7.794 ≈ 35.1

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = a² = 81 ≈ 35.1

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 35.1 ≈ 210.4

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=70 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 210.4 mm² ⋅ 70 mm ≈ 14731.1 mm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{346.4}}{\mathrm{50}}$ ≈ 6.93

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das gleichseitige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

h_c² + ($\frac{x}{2}$)² = x² |-($\frac{x}{2}$)²

h_c² = x² - ($\frac{x}{2}$)² = x² - $\frac{1}{4}$x² = $\frac{3}{4}$x²

Daraus ergibt sich:

h_c = x

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche G:

G = $\frac{1}{2}$ x ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ x ⋅ x ≈ x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.93 einsetzen:

6.93 ≈ x² | ⋅4: $\sqrt{3}$

16 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{16}}$ ≈ 4

Für x = 4 m ist somit die Grundfläche G ≈ 6.9 m² und das Volumen des Prismas V ≈ 346.4 m³