Ein Würfel hat ja sechs gleich große Seitenflächen. Jede davon ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a.
Also gilt für die Oberfläche eines Würfel mit Kantenlänge a:
O = 6 ⋅ a ⋅ a = 6a²

Es gilt somit:

2400 cm² = 6 ⋅ ⬜²

Wenn 6 ⬜² das Gleiche wie 2400 ist, dann muss doch ein ⬜² ein Sechstel von 2400, also 400 ergeben.

400 cm² = ⬜²

Mit gezieltem Probieren findet man, dass dies mit a = 20 cm funktioniert.

Das Volumen eines senkrechten Prismas berechnet man mit V = G ⋅ h,
also die Fläche der Grundseite multipliziert mit der Höhe des Prismas, wobei die Höhe hier die 9 cm nach schräg hinten ist.
Die Fläche der Grundseite berechnet man mit:
A = $\frac{1}{2}$ ⋅ Grundseite ⋅ Höhe
also hier:

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ 10 cm ⋅ 8 cm = 40 cm²

Das wird dann mit der Höhe multipliziert: V = 40 cm² ⋅ 9 cm = 360 cm³

Die Grundfläche dieses regelmäßigen Sechseck besteht aus 6 kleinen gleichseitigen Dreiecken. Deswegen berechnen wir zuerst den Flächeninhalt eines dieser 6 kleinen gleichseitigen Dreiecke und nutzen hierfür die Flächeninhaltsformel des Dreiecks:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c

Dazu müssen wir zuerst noch die Höhe h_c mit dem Satz des Pythagoras (im rechtwinkligen halben Dreieck) berechnen:

h_c² + ($\frac{6}{2}$)² = 6² |-($\frac{6}{2}$)²

h_c² = 6² - ($\frac{6}{2}$)² = 6² - 3² = 36 - 9= 27

Daraus ergibt sich:

h_c = $\sqrt{27}$ ≈ 5.196

Und daraus ergibt sich wiederum für die Grundfläche A_Dreieck:

A_Dreieck = $\frac{1}{2}$ c ⋅ h_c = $\frac{1}{2}$ ⋅ 6 ⋅ 5.196 ≈ 15.6

Man hätte den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks auch mit dessen Flächenformel berechnen können:
A_Dreieck = a² = 36 ≈ 15.6

Damit haben wir den Flächeninhalt eines der 6 gleichseitiogen Dreiecke. Um nun auf die gesamte Grundfläche des Prismas, also auf das regelmäßige Sechseck zu kommen, müssen wir lediglich diese Dreiecksfläche A_Dreieck mal 6 nehmen:

G = 6 ⋅ A_Dreieck ≈ 6 ⋅ 15.6 ≈ 93.5

Um nun das gesuchte Volumen des Prismas zu berechnen, müssen wir nur noch die Grundfläche G mit der Höhe h=40 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 93.5 mm² ⋅ 40 mm ≈ 3741.2 mm³

Da ja für das Volumen eines Prismas V = G ⋅ h gilt, können wir umgekehrt sofort die Grundfläche berechnen als :
G = $\frac{V}{h}$ ≈ $\frac{\mathrm{562.5}}{\mathrm{90}}$ ≈ 6.25

Jetzt müssen wir uns eine Formel für das rechtwinklige gleichschenklige Dreieck mit Basisseitenlänge x herleiten (oder in der Formelsammlung suchen ;-):

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

s² + s² = x²

also 2s² = x² oder eben s² = $\frac{1}{2}$ x²

Für den Flächeninhalt des rechtwinklig und gleichschenkligen Dreiecks gilt wegen des rechten Winkels oben in C aber:
A = $\frac{1}{2}$ s ⋅ s = $\frac{1}{2}$ ⋅ s²

mit s² = $\frac{1}{2}$ x² gilt somit;

A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$x² = $\frac{1}{4}$x²

Hier können wir jetzt die bereits ermittelte Grundfläche G = 6.25 einsetzen:

6.25 ≈ $\frac{1}{4}$x² | ⋅4

25 ≈ x²

x ≈ $\sqrt{\mathrm{25}}$ ≈ 5

Für x = 5 cm ist somit die Grundfläche G ≈ 6.3 cm² und das Volumen des Prismas V ≈ 562.5 cm³