Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.2cm}}{\mathrm{6cm}}$=0.867 und somit β=60.1°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 29.9°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+29.9°=β=60.1° gilt nun: α = 30.1°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Aufgrund der Winkelsumme im ersten Dreieck folgt β + γ + 31° = 180°.

Daraus folgt β = 180° - 90° - 31° = 59°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(59°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(59°) ⋅ 5cm ≈ 4.3cm

Als Nebenwinkel von γ muss natürlich auch δ ein rechter Winkel sein.

Aufgrund der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss β und (α+31°) gleich groß sein. Damit gilt 59° = α + 31°, woraus folgt: α = 28°

Mit der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt nun ε = 90° - α = 90° - 28° = 62°

Nun können wir in diesem Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(62°)=$\frac{\mathrm{4.3}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.3}}{\mathrm{sin(62°)}}$ ≈ 4.9cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(31.3°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(19.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 21}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(31.3°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(31.3°) ⋅ x =h |:tan(31.3°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(31.3°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(19.1°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 21}}$ | ⋅ (x+ 21)

(II) tan(19.1°) ⋅ (x+ 21) = h |:tan(31.3°)

(II) x + 21= $\frac{h}{\mathrm{tan(19.1°)}}$ | -21

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(19.1°)}}$ - 21

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(31.3°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(19.1°)}}$ - 21

$\frac{h}{\mathrm{0.608}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.3463}}$ - 21

$\frac{1}{\mathrm{0.608}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.3463}}$ ⋅ h - 21

1.6447 h = 2.8878 h - 21 | - 1.6447 + 21

21 = 1.2431 h | : 1.2431

16.893 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=16.9m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 7 und (zwischen A und C) b = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 7² + 6²

c² = 49 + 36

c² = 85

c = $\sqrt{\mathrm{85}}$ ≈ 9.22

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{7}{6}$ ≈ 1.167

Daraus folgt: α = arctan(1.167) ≈ 49.4°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-49.4° = 40.6°