Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{4.68cm}}{\mathrm{5.5cm}}$=0.851 und somit β=58.3°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + α = 180°.
Somit gilt α = 90° - β° = 31.7°.

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 23° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 23° = 67°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{113°}}{2}$ = 56.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(56.5°) = $\frac{g}{\mathrm{6.5cm}}$

Damit folgt g = sin(56.5°) ⋅ 6.5cm ≈ 5.4cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(67°)=$\frac{\mathrm{5.4}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{5.4}}{\mathrm{sin(67°)}}$ = 5.9cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(20.8°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(14.7°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 13}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(20.8°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(20.8°) ⋅ x =h |:tan(20.8°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(20.8°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(14.7°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 13}}$ | ⋅ (x+ 13)

(II) tan(14.7°) ⋅ (x+ 13) = h |:tan(20.8°)

(II) x + 13= $\frac{h}{\mathrm{tan(14.7°)}}$ | -13

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(14.7°)}}$ - 13

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(20.8°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(14.7°)}}$ - 13

$\frac{h}{\mathrm{0.3799}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.2623}}$ - 13

$\frac{1}{\mathrm{0.3799}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.2623}}$ ⋅ h - 13

2.6325 h = 3.8118 h - 13 | - 2.6325 + 13

13 = 1.1793 h | : 1.1793

11.0239 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=11m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 3 und (zwischen A und C) b = 6 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man c (zwischen A und B), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

c² = 3² + 6²

c² = 9 + 36

c² = 45

c = $\sqrt{\mathrm{45}}$ ≈ 6.71

Da a (zwischen B und C) und b (zwischen A und C) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in C γ = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{3}{6}$ = 0.5

Daraus folgt: α = arctan(0.5) ≈ 26.6°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: β = 90°-26.6° = 63.4°