Am blauen Thaleskreis erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Nach der Definition des Sinus gilt im rechtwinkligen Dreieck sin(β)=$\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Hypotenuse}}$

Damit folgt sin(β)=$\frac{\mathrm{5.5cm}}{\mathrm{6.5cm}}$=0.846 und somit β=57.8°

Wegen der Winkelsumme im Dreieck muss gelten: 90° + β + φ = 180°.
Somit gilt φ = 90° - β° = 32.2°.

Wegen der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks muss nun aber β und (α+φ) gleich groß sein.

Mit α+32.2°=β=57.8° gilt nun: α = 25.6°

Am blauen Thaleskreis über dem ersten Dreieck erkennt man sofort, dass γ ein rechter Winkel sein muss.

Als Nebenwinkel von γ muss natürluch auch δ ein recher Winkel sein.

Aufgrund der Winkelsumme im zweiten Dreieck folgt δ + ε + 39° = 180°.

Daraus folgt ε = 180° - 90° - 39° = 51°.

Mit Hilfe der Gleichschenkligkeit des großen Dreiecks kann mann nun β bestimmen: Es gilt ε + 2⋅β = 180°. Daraus folgt β = $\frac{\mathrm{180°\; -\; \epsilon }}{2}$ = $\frac{\mathrm{129°}}{2}$ = 64.5°

Mit Hilfe des Sinus kann man nun die Länge der gemeinsamen Seite g der beiden Dreiecke berechnen:

Da g die Gegenkathete von β ist, gilt: sin(β)=sin(64.5°) = $\frac{g}{\mathrm{5cm}}$

Damit folgt g = sin(64.5°) ⋅ 5cm ≈ 4.5cm

Nun können wir im zweiten Dreieck den Sinus anwenden und so die gesuchte Seite PQ herausfinden: sin(ε)= $\frac{g}{\mathrm{PQ}}$

Setzt man die bekannten Werte ein, so folgt sin(51°)=$\frac{\mathrm{4.5}}{\mathrm{PQ}}$

Damit folgt: PQ = $\frac{\mathrm{4.5}}{\mathrm{sin(51°)}}$ = 5.8cm

Wir nennen die Entfernung vom näheren Messpunkt bis zum Punkt senkrecht unter der Schulhausspitze x und die gesuchte Höhe des Schulhauses h.
Dann gilt in dem kleineren rechten Dreieck:

(I) tan(34.5°)=$\frac{h}{x}$

In dem größeren rechtwinkligen Dreick vom entfernten Messpunkt bis zum Schulhaus gilt dann:

(II) tan(32.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 3}}$

Wenn wir nun beide Glecihungen nach x auflösen, können wir diese gleichsetzen

(I) tan(34.5°)=$\frac{h}{x}$ | ⋅ x

(I) tan(34.5°) ⋅ x =h |:tan(34.5°)

(I) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(34.5°)}}$

Jetzt die Gleichung (II):

(II) tan(32.2°)=$\frac{h}{\mathrm{x\; +\; 3}}$ | ⋅ (x+ 3)

(II) tan(32.2°) ⋅ (x+ 3) = h |:tan(34.5°)

(II) x + 3= $\frac{h}{\mathrm{tan(32.2°)}}$ | -3

(II) x = $\frac{h}{\mathrm{tan(32.2°)}}$ - 3

Jetzt kann man die rechten Seiten der beiden Gleichungen gleichsetzen:

$\frac{h}{\mathrm{tan(34.5°)}}$ = $\frac{h}{\mathrm{tan(32.2°)}}$ - 3

$\frac{h}{\mathrm{0.6873}}$ = $\frac{h}{\mathrm{0.6297}}$ - 3

$\frac{1}{\mathrm{0.6873}}$ ⋅ h = $\frac{1}{\mathrm{0.6297}}$ ⋅ h - 3

1.455 h = 1.588 h - 3 | - 1.455 + 3

3 = 0.133 h | : 0.133

22.5625 = h

Das Schulhaus ist also ungefähr h=22.6m hoch.

Wenn man die drei Punkte in ein Koordinatensystem einträgt, erkennt man sofort, dass (zwischen B und C) a = 4 und (zwischen A und B) c = 4 sein müssen. Weil das Dreieck rechtwinklig ist, kann man b (zwischen A und C), also die Hypotenuse, mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

Dreiecks mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.

b² = 4² + 4²

b² = 16 + 16

b² = 32

b = $\sqrt{\mathrm{32}}$ ≈ 5.66

Da a (zwischen B und C) und c (zwischen A und B) parallel zu den Koordinatenachsen sind, muss der Winkel in B β = 90° sein.

Den Winkel α können wir mit dem Tangens berechnen:

tan(α) = $\frac{\mathrm{Gegenkathete}}{\mathrm{Ankathete}}$ = $\frac{4}{4}$ = 1

Daraus folgt: α = arctan(1) ≈ 45°.

Wegen der Winkelsumme von 180° im Dreieck folgt: γ = 90°-45° = 45°