$x^{-8}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^8}$.

Also ist $-4x^{-8}$ das gleiche wie $-4·\frac{1}{x^8}$ = $-\frac{4}{x^8}$.

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[8]{x}\right)}^5$ = ${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^5$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^5$ = x^{$\frac{1}{8}$⋅5} = $x^{\frac{5}{8}}$

$x^{-5}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^5}$.

Also ist $-7x^{-5}$ das gleiche wie $-7·\frac{1}{x^5}$ = $-\frac{7}{x^5}$.

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

${\left(\frac{64}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

${\mathrm{0,0016}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0016}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,2}}^3$

= $\mathrm{0,008}$

${\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^{14}\right)}^{\frac{1}{7}}$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{14·\frac{1}{7}}$

= ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2$

= $\frac{4}{9}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^{12}}·\sqrt[15]{x^{21}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{12}{15}}\cdot x^{\frac{21}{15}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{4}{5}}\cdot x^{\frac{7}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{4}{5}+\frac{7}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{11}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{11}{5}·15}$

= $x^{33}$

$\frac{5b^{-3}}{\frac{13}{b^2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b^3}}{\frac{13}{b^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b^3}·\frac{b^2}{13}$

= $\frac{5}{13b}$