$x^{-2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^2}$.

Also ist $-4x^{-2}$ das gleiche wie $-4·\frac{1}{x^2}$ = $-\frac{4}{x^2}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{7}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{7}$} = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^5}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ = $x^{-\frac{4}{5}}$

${27}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{27}\right)}^2$

= $3^2$

= 9

$\frac{2^{39}}{2^{35}}$

= $2^{39-35}$

= $2^4$

= 16

${\mathrm{1,44}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{1,44}}$

= $\mathrm{1,2}$

${\left(2^{20}\right)}^{\frac{1}{5}}$

= $2^{20·\frac{1}{5}}$

= $2^4$

= $16$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^9}·\sqrt[12]{x^{18}})}^8$

= ${(x^{\frac{9}{12}}\cdot x^{\frac{18}{12}})}^8$

= ${(x^{\frac{3}{4}}\cdot x^{\frac{3}{2}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{9}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{9}{4}·8}$

= $x^{18}$

$\frac{9u^{-4}}{\frac{5}{u^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{u^4}}{\frac{5}{u^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{u^4}·\frac{u^3}{5}$

= $\frac{9}{5u}$