$x^{-7}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^7}$.

Also ist $3x^{-7}$ das gleiche wie $3·\frac{1}{x^7}$ = $\frac{3}{x^7}$.

Wir können ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{2}$} immer das gleiche ist wie die 2-te Wurzel, also:

$x^{\frac{1}{2}}$ = $\sqrt{x}$

Eine 5-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{5}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{5}}\right)}^4}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}·4}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}}$ = $x^{-\frac{4}{5}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

${64}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>64</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{64}}$

= $\frac{1}{8}$

${\mathrm{0,0001}}^{\frac{3}{4}}$

= ${\left(\sqrt[4]{\mathrm{0,0001}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,1}}^3$

= $\mathrm{0,001}$

${\left(8^{-4}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $8^{-4·\frac{1}{3}}$

= $8^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^4}·{\left(\sqrt[8]{x}\right)}^{10})}^8$

= ${(x^{\frac{4}{8}}\cdot x^{\frac{10}{8}})}^8$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^8$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{4}}\right)}^8$

= ${\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^8$

= $x^{\frac{7}{4}·8}$

= $x^{14}$

$\frac{13s^{-2}}{\frac{10}{s^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{s^2}}{\frac{10}{s^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{s^2}·\frac{s^3}{10}$

= $\frac{13}{10}s$