$x^{-9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^9}$.

Also ist $-4x^{-9}$ das gleiche wie $-4·\frac{1}{x^9}$ = $-\frac{4}{x^9}$.

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt{x}$ = $x^{\frac{1}{2}}$

Eine 8-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{8}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{\left(\sqrt[8]{x}\right)}^7}$ = $\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^{\frac{1}{8}}\right)}^7}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{8}·7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{8}}}$ = $x^{-\frac{7}{8}}$

${64}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{64}$

= $8$

${\left(\frac{64}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{64}{27}}$

= $\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}$

= $\frac{4}{3}$

${\mathrm{1,21}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{1,21}}$

= $\mathrm{1,1}$

${\left({\left(\frac{3}{2}\right)}^{-8}\right)}^{-\frac{1}{4}}$

= ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{-8·\left(-\frac{1}{4}\right)}$

= ${\left(\frac{3}{2}\right)}^2$

= $\frac{9}{4}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[8]{x^4}·\sqrt[4]{x^5})}^{12}$

= ${(x^{\frac{4}{8}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${(x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{1}{2}+\frac{5}{4}}\right)}^{12}$

= ${\left(x^{\frac{7}{4}}\right)}^{12}$

= $x^{\frac{7}{4}·12}$

= $x^{21}$

$\frac{\frac{5}{c^3}}{6c^{-1}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{c^3}}{\frac{6}{c}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{c^3}·\frac{c}{6}$

= $\frac{5}{6c^2}$