$x^{-9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^9}$.

Also ist $x^{-9}$ das gleiche wie $1·\frac{1}{x^9}$ = $\frac{1}{x^9}$.

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[9]{x}\right)}^8$ = ${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^8$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{9}}\right)}^8$ = x^{$\frac{1}{9}$⋅8} = $x^{\frac{8}{9}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{6}{5}}$ = $x^{6·\frac{1}{5}}$ = ${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{5}$} immer das gleiche ist wie die 5-te Wurzel, also:

${\left(x^6\right)}^{\frac{1}{5}}$ = $\sqrt[5]{x^6}$

${25}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

${144}^{-\frac{1}{2}}$

= $\frac{1}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>144</mn></mrow>\; <mrow>\; <mrow>\; <mfrac>\; <mrow>\; <mn>1</mn>\; </mrow>\; <mrow>\; <mn>2</mn>\; </mrow>\; </mfrac>\; </mrow></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </mrow>\; </math>}}$

= $\frac{1}{\sqrt{144}}$

= $\frac{1}{12}$

${\mathrm{0,09}}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{\mathrm{0,09}}$

= $\mathrm{0,3}$

${\left({14}^{14}\right)}^{\frac{1}{7}}$

= ${14}^{14·\frac{1}{7}}$

= ${14}^2$

= $196$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[10]{x^4}·\sqrt[10]{x^{12}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{4}{10}}\cdot x^{\frac{12}{10}})}^{10}$

= ${(x^{\frac{2}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{2}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{10}$

= ${\left(x^{\frac{8}{5}}\right)}^{10}$

= $x^{\frac{8}{5}·10}$

= $x^{16}$

$\frac{12s^{-2}}{\frac{7}{s^3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{12}{s^2}}{\frac{7}{s^3}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{12}{s^2}·\frac{s^3}{7}$

= $\frac{12}{7}s$