$x^{-6}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^6}$.

Also ist $-2x^{-6}$ das gleiche wie $-2·\frac{1}{x^6}$ = $-\frac{2}{x^6}$.

Eine 3-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{3}$} schreiben, also gilt hier: $\sqrt[3]{x}$ = $x^{\frac{1}{3}}$

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{-\frac{5}{8}}$ = $x^{-5·\frac{1}{8}}$ = ${\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{8}}$ = $\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{8}$} immer das gleiche ist wie die 8-te Wurzel, also:

$\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{\frac{1}{8}}}$ = $\frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$

${16}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{16}$

= $4$

$2^{45}$ : $2^{41}$

= $2^{45-41}$

= $2^4$

= 16

${\mathrm{0,16}}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{\mathrm{0,16}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,4}}^3$

= $\mathrm{0,064}$

${\left(4^3\right)}^{-\frac{1}{2}}$

= $4^{3·\left(-\frac{1}{2}\right)}$

= $4^{\frac{1}{2}·\left(-3\right)}$

= ${\left(4^{\frac{1}{2}}\right)}^{-3}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt{4}\right)}^3}$

= $\frac{1}{2^3}$

= $\frac{1}{8}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^3}·\sqrt[5]{x^2})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{15}}\cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{1}{5}}\cdot x^{\frac{2}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{1}{5}+\frac{2}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{3}{5}·15}$

= $x^9$

$\frac{\frac{5}{b}}{10b^{-2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{5}{b}}{\frac{10}{b^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{5}{b}·\frac{b^2}{10}$

= $\frac{1}{2}b$