$x^{-9}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^9}$.

Also ist $-4x^{-9}$ das gleiche wie $-4·\frac{1}{x^9}$ = $-\frac{4}{x^9}$.

Wir können den Exponent ja erst aufspalten und dann mit einem Potenzgesetz verrechnen :

$x^{\frac{5}{7}}$ = x^{5⋅$\frac{1}{7}$} = ${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$

Jetzt können wir ja ausnutzen, dass (...)^{$\frac{1}{7}$} immer das gleiche ist wie die 7-te Wurzel, also:

${\left(x^5\right)}^{\frac{1}{7}}$ = $\sqrt[7]{x^5}$

Eine 7-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{7}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt[7]{x^5}}$ = $\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{7}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^5\right)}^{-\frac{1}{7}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}·5}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{5}{7}}}$ = $x^{-\frac{5}{7}}$

${64}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{64}\right)}^2$

= $4^2$

= 16

$-{100}^{\frac{1}{2}}$

= $-\sqrt{100}$

= $-10$

${\mathrm{0,09}}^{\frac{3}{2}}$

= ${\left(\sqrt{\mathrm{0,09}}\right)}^3$

= ${\mathrm{0,3}}^3$

= $\mathrm{0,027}$

${\left({27}^{-4}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= ${27}^{-4·\frac{1}{3}}$

= ${27}^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left({27}^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{27}\right)}^4}$

= $\frac{1}{3^4}$

= $\frac{1}{81}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[15]{x^9}·\sqrt[5]{x^6})}^{15}$

= ${(x^{\frac{9}{15}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${(x^{\frac{3}{5}}\cdot x^{\frac{6}{5}})}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{3}{5}+\frac{6}{5}}\right)}^{15}$

= ${\left(x^{\frac{9}{5}}\right)}^{15}$

= $x^{\frac{9}{5}·15}$

= $x^{27}$

$\frac{\frac{9}{d}}{13d^{-2}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{9}{d}}{\frac{13}{d^2}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{9}{d}·\frac{d^2}{13}$

= $\frac{9}{13}d$