Mathebattle EduRandomtasks

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $x^{8} \cdot x^{7}$

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: $a^{n}$ ⋅ $a^{m}$ = a^n+m gilt:

$x^{8} \cdot x^{7}$

= $x^{8 + 7}$

= $x^{15}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR: $\frac{4^{5}}{4^{7}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

$\frac{4^{5}}{4^{7}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{4^{5}}{4^{7}}$

= $\frac{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{4 \cdot 4}$

= $\frac{1}{16}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{4^{5}}{4^{7}}$

= $4^{5 - 7}$

= $4^{- 2}$

= $\frac{1}{4^{2}}$

= $\frac{1}{16}$

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{- 5 x^{5}}{2 x^{4}}$

Lösung einblenden

$\frac{- 5 x^{5}}{2 x^{4}}$ = $\frac{- 5 \cdot x^{5}}{2 \cdot x^{4}}$ = $- \frac{5}{2} \frac{x^{5}}{x^{4}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $- \frac{5}{2}$ $x^{5 - 4}$

= $- \frac{5}{2} x$

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{9 x^{4}}{3 x^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{9 x^{4}}{3 x^{- 3}}$ = $\frac{9 \cdot x^{4}}{3 \cdot x^{- 3}}$ = $3 \frac{x^{4}}{x^{- 3}}$

Nach dem Potenzgesetz: $\frac{a^{n}}{a^{m}}$ = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{4 - (- 3)}$

= $3 x^{7}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(5 x)}^{2}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${(5 x)}^{2}$

= $5^{2} \cdot x^{2}$

= $25 x^{2}$

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

Beispiel:

Berechne ohne WTR (möglichst geschickt): $\frac{15^{2}}{5^{2}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

Lösung einblenden

= $\frac{15^{2}}{5^{2}}$

= $\frac{15 \cdot 15}{5 \cdot 5}$

= $\frac{15}{5} \cdot \frac{15}{5}$

= ${(\frac{15}{5})}^{2}$

= $3^{2}$

= $9$

3. PG: Potenzen potenzieren

Beispiel:

Vereinfache zu einem möglichst einfachen Potenzterm, der nur noch eine Basis und eine Hochzahl hat: ${(4^{x})}^{3}$

In der Basis und im Exponent dürfen nur noch eine Zahl oder die Variable x alleine stehen, z.B. 31^x oder x¹⁹.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(4^{x})}^{3}$

= $4^{x \cdot 3}$

= $4^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${(4^{3})}^{x}$

= $64^{x}$

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

Das heißt, dass der vereinfachte Term ohne Klammer und mit möglichst einfacher Basis und einfachem Exponent dargestellt ist.

Lösung einblenden

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${(3 \cdot 3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot {(3^{x})}^{3}$

= $3^{3} \cdot 3^{x \cdot 3}$

= $27 \cdot 3^{3 x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $27 \cdot {(3^{3})}^{x}$

= $27 \cdot 27^{x}$

Potenzen multiplizieren

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne Taschenrechner: $2^{4} \cdot 8^{- 2}$

Das Ergebnis muss dann eine Zahl ohne Potenz sein.

Lösung einblenden

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{4} \cdot 8^{- 2}$

= $\frac{2^{4}}{8^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{{(2^{3})}^{2}}$

= $\frac{2^{4}}{2^{6}}$

= $2^{4 - 6}$

= $\frac{1}{2^{2}}$

= $\frac{1}{4}$

Vereinfachen von Potenzen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(2 x)}^{5} - 2 x^{5}$

Lösung einblenden

${(2 x)}^{5} - 2 x^{5}$

= $2^{5} \cdot x^{5} - 2 x^{5}$

= $32 x^{5} - 2 x^{5}$

= $30 x^{5}$

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Beispiel:

Berechne den folgenden Term ohne WTR: $\frac{5^{5} \cdot 8^{6} + 5^{8} \cdot 8^{6}}{40^{6}}$

Lösung einblenden

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (40 = 5 ⋅ 8)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^{5} \cdot 8^{6} + 5^{8} \cdot 8^{6}}{40^{6}}$

= $\frac{(5^{5} + 5^{8}) \cdot 8^{6}}{{(5 \cdot 8)}^{6}}$

= $\frac{(5^{5} + 5^{8}) \cdot 8^{6}}{5^{6} \cdot 8^{6}}$

= $\frac{5^{5} + 5^{8}}{5^{6}}$

= $\frac{5^{5} \cdot (1 + 5^{3})}{5^{6}}$

= $\frac{1 + 125}{5}$

= $\frac{126}{5}$

Potenzen mit binom. Formeln

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{2}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Potenz (von einer Summe, Differenz oder Quotient) stehen, keine Summe/Differenz von Potenzen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(4 x^{2} + 12 x + 9)}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{({(2 x + 3)}^{2})}^{2}}$

= $\frac{{(2 x + 3)}^{3}}{{(2 x + 3)}^{4}}$

= $\frac{1}{2 x + 3}$

Aufgabenbeispiele von Potenzgesetze

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (Zahlen)

Herkömmlicher Weg:

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

1. PG: Potenzen mit gleicher Basis (+ Koeffizient)

1. PG: Potenzen mit gl. Basis (+ Koeffizient +neg)

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten

2. PG: Potenzen mit gleichem Exponenten (Zahlen)

3. PG: Potenzen potenzieren

3. PG: Potenzen potenzieren (+ Koeffizient)

Potenzen multiplizieren

Vereinfachen von Potenzen

Ausklammern mit Potenzgesetzen

Potenzen mit binom. Formeln