Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

$\frac{x^2}{x^4}$

= $x^{2-4}$

= $x^{-2}$

= $\frac{1}{x^2}$

${\left(-4\right)}^6$⋅ ${\left(-4\right)}^{-4}$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-4\right)}^6·\left(\frac{1}{{\left(-4\right)}^4}\right)$

= $\frac{\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)}{\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)·\left($ -4$\right)}$

= ($-4$) · ($-4$)

= $16$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-4\right)}^6$⋅ ${\left(-4\right)}^{-4}$

= ${\left(-4\right)}^{6-4}$

= ${\left(-4\right)}^2$

= $16$

$2x^6·3x^4$ = $2·x^6·3·x^4$ = $6x^6·x^4$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $6$ $x^{6+4}$

= $6x^{10}$

$6x^{-5}·4x^{-7}$ = $6·x^{-5}·4·x^{-7}$ = $24x^{-5}·x^{-7}$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $24$ $x^{-5+\left(-7\right)}$

= $24x^{-12}$

= $\frac{24}{x^{12}}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(2x\right)}^2$

= $2^2·x^2$

= $4x^2$

= $9^2·2^2$

= $9·9$ ⋅ $2·2$

= $9·2·9·2$

= ${(9·2)}^2$

= ${18}^2$

= $324$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(5^x\right)}^2$

= $5^{x·2}$

= $5^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(5^2\right)}^x$

= ${25}^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3\cdot 3^x\right)}^4$

= $3^4·{\left(3^x\right)}^4$

= $3^4·3^{x·4}$

= $81\cdot 3^{4x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $81\cdot {\left(3^4\right)}^x$

= $81\cdot {81}^x$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$2^{-3}·6^3$

= $\frac{6^3}{2^3}$

= ${\left(\frac{6}{2}\right)}^3$

= $3^3$

= $27$

$\left(x^{-3}+x^2\right)·x^5-5x^2$

= $x^{-3}·x^5+x^2·x^5-5x^2$

= $x^2+x^7-5x^2$

= $x^7-4x^2$

Hier sollte man erkennen, dass die Basis im Nenner gerade das Produkt der beiden Basen im Zähler ist (20 = 4 ⋅ 5)
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{4·5^3+4^4·5^3}{{20}^3}$

= $\frac{\left(4+4^4\right)·5^3}{{\left(4\cdot 5\right)}^3}$

= $\frac{\left(4+4^4\right)·5^3}{4^3·5^3}$

= $\frac{4+4^4}{4^3}$

= $\frac{4·\left(1+4^3\right)}{4^3}$

= $\frac{1+64}{4^2}$

= $\frac{65}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(x^2-1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$

= $\frac{{(\left(x+1\right)·\left(x-1\right))}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$

= $\frac{{\left(x+1\right)}^2·{\left(x-1\right)}^2}{{\left(x+1\right)}^2}$

= $\frac{1·{\left(x-1\right)}^2}{1}$

= ${\left(x-1\right)}^2$