Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^6·x^3$

= $x^{6+3}$

= $x^9$

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>9</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

Herkömmlicher Weg:

$\frac{2^6}{2^9}$

= $\frac{2·2·2·2·2·2}{2·2·2·2·2·2·2·2·2}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow>}}$

= $\frac{1}{8}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

$\frac{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>6</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}{\mathrm{<math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">\; <mrow>\; <msup>\; <mrow><mn>2</mn></mrow>\; <mrow><mn>9</mn></mrow>\; </msup>\; </mrow>\; </math>}}$

= $2^{6-9}$

= $2^{-3}$

= $\frac{1}{2^3}$

= $\frac{1}{8}$

$\frac{-6x^2}{3x^7}$ = $\frac{-6·x^2}{3·x^7}$ = $-2\frac{x^2}{x^7}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-2$ $x^{2-7}$

= $-2x^{-5}$

= $-\frac{2}{x^5}$

$\frac{9x^{-5}}{3x^3}$ = $\frac{9·x^{-5}}{3·x^3}$ = $3\frac{x^{-5}}{x^3}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $3$ $x^{-5-3}$

= $3x^{-8}$

= $\frac{3}{x^8}$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

${\left(5x\right)}^2$

= $5^2·x^2$

= $25x^2$

= $5^9·2^9$

= $5·5·5·5·5·5·5·5·5$ ⋅ $2·2·2·2·2·2·2·2·2$

= $5·2·5·2·5·2·5·2·5·2·5·2·5·2·5·2·5·2$

= ${(5·2)}^9$

= ${10}^9$

= $1000000000$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(x^3\right)}^5$

= $x^{3·5}$

= $x^{15}$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2\cdot 2^x\right)}^3$

= $2^3·{\left(2^x\right)}^3$

= $2^3·2^{x·3}$

= $8\cdot 2^{3x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= $8\cdot {\left(2^3\right)}^x$

= $8\cdot 8^x$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$5^7·{10}^{-7}$

= $\frac{5^7}{{10}^7}$

= ${\left(\frac{5}{10}\right)}^7$

= ${\left(\frac{1}{2}\right)}^7$

= $\frac{1}{128}$

$x^3·\left(x^{-1}+x^4\right)-4x^2$

= $x^3·x^{-1}+x^3·x^4-4x^2$

= $x^2+x^7-4x^2$

= $x^7-3x^2$

Hier sollte man erkennen, dass man die 32 als 4 ⋅ 8 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{32·8^3-5·8^4}{8^4}$

= $\frac{4\cdot 8·8^3-5·8^4}{8^4}$

= $\frac{4·8^4-5·8^4}{8^4}$

= $\frac{\left(4-5\right)·8^4}{8^4}$

= $4-5$

= $-1$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(2x+1\right)}^3}{{\left(4x^2+4x+1\right)}^2}$

= $\frac{{\left(2x+1\right)}^3}{{\left({\left(2x+1\right)}^2\right)}^2}$

= $\frac{{\left(2x+1\right)}^3}{{\left(2x+1\right)}^4}$

= $\frac{1}{2x+1}$