Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

$x^4·x^5$

= $x^{4+5}$

= $x^9$

${\left(-2\right)}^3$⋅ ${\left(-2\right)}^{-9}$

Herkömmlicher Weg:

${\left(-2\right)}^3·\left(\frac{1}{{\left(-2\right)}^9}\right)$

= $\frac{\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)}{\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)·\left($ -2$\right)}$

= $\frac{1}{\mathrm{<mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math><mo>)</mo><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mo>(</mo><math\; xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></math><mo>)</mo></mrow>}}$

= $\frac{1}{64}$

Schnellerer Weg mit dem Potenzgesetz:

${\left(-2\right)}^3$⋅ ${\left(-2\right)}^{-9}$

= ${\left(-2\right)}^{3-9}$

= ${\left(-2\right)}^{-6}$

= $\frac{1}{{\left(-2\right)}^6}$

= $\frac{1}{64}$

$-3x^3·8x^2$ = $(-3·x^3)·8·x^2$ = $-24x^3·x^2$

Nach dem Potenzgesetz: $a^n$⋅ $a^m$ = a^n+m gilt:

= $-24$ $x^{3+2}$

= $-24x^5$

$\frac{-3x^8}{2x^5}$ = $\frac{-3·x^8}{2·x^5}$ = $-\frac{3}{2}\frac{x^8}{x^5}$

Nach dem Potenzgesetz: = a^n-m gilt:

= $-\frac{3}{2}$ $x^{8-5}$

= $-\frac{3}{2}{x}^3$

Nach dem Potenzgesetz: aⁿ⋅bⁿ= (a⋅b)ⁿ gilt:

$7^x·3^x$

= ${(7·3)}^x$

= ${21}^x$

= ${12}^2$⋅ $4^{-2}$

= ${12}^2·\frac{1}{4^2}$

= $\frac{{12}^2}{4^2}$

= $\frac{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>12</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></mrow></math>}}{\mathrm{<math><mrow><mrow><mn>4</mn></mrow><mrow><mo>\; ·\; </mo></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></mrow></math>}}$

= $\frac{12}{4}·\frac{12}{4}$

= ${\left(\frac{12}{4}\right)}^2$

= $3^2$

= $9$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(3^x\right)}^2$

= $3^{x·2}$

= $3^{2x}$

Jetzt wendet man das Potenzgesetz (aⁿ)^m= a^n⋅m rückwärts an:

= ${\left(3^2\right)}^x$

= $9^x$

Nach dem Potenzgesetz: (aⁿ)^m= a^n⋅m gilt:

${\left(2x^2\right)}^6$

= $2^6·{\left(x^2\right)}^6$

= $2^6·x^{2·6}$

= $64x^{12}$

Potenzen mit negativen Hochzahlen verschieben wir vom Zähler in den Nenner (bzw. umgekehrt) und drehen dadurch das Vorzeichen um.

$8^{-3}·2^6$

= $\frac{2^6}{8^3}$

= $\frac{2^6}{{\left(2^3\right)}^3}$

= $\frac{2^6}{2^9}$

= $2^{6-9}$

= $\frac{1}{2^3}$

= $\frac{1}{8}$

$-2x^3+\frac{x^4+x}{x}$

= $-2x^3+(\frac{x^4}{x}+\frac{x}{x})$

= $-2x^3+x^3+1$

= $-x^3+1$

Hier sollte man erkennen, dass man die 10 als 2 ⋅ 5 schreiben kann.
Dann kann man der Reihe nach ausklammern und kürzen:

$\frac{5^4·10+5^5·3}{5^5}$

= $\frac{5^4·2\cdot 5+5^5·3}{5^5}$

= $\frac{5^5·2+5^5·3}{5^5}$

= $\frac{5^5·\left(2+3\right)}{5^5}$

= $2+3$

= $5$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Binomischen Formeln erkennt und dann rückwärts anwendet:

$\frac{{\left(2x-5\right)}^5}{{\left(4x^2-25\right)}^5}$

= $\frac{{\left(2x-5\right)}^5}{{(\left(2x-5\right)·\left(2x+5\right))}^5}$

= $\frac{{\left(2x-5\right)}^5}{{\left(2x-5\right)}^5·{\left(2x+5\right)}^5}$

= $\frac{1}{1·{\left(2x+5\right)}^5}$

= $\frac{1}{{\left(2x+5\right)}^5}$