Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(4 c - d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(4 c - d)}^{2}$ = ${(4 c)}^{2} - 2 \cdot 4 c \cdot d + {(d)}^{2}$ = $16 c^{2} - 8 c d + d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $36 - 60 x + 25 x^{2}$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 60 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 60 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $36$ ) als auch der letzte ( $25 x^{2}$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $6$ und für b dann $5 x$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 60 x$ = -2⋅ $6$ ⋅ $5 x$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(6 - 5 x)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(6 - 5 x)}^{2}$ = $6 \cdot 6 + 6 \cdot (- 5 x) - 5 x \cdot 6 - 5 x \cdot (- 5 x)$ = $36 - 60 x + 25 x^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 4 x^{2} + 32 x - 64$

$- 4 x^{2} + 32 x - 64$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 4$ aus.

$- 4 (x^{2} - 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 4 {(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 10 x + ☐$

Der gemischte Term $10 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$10 x$ = 2⋅x⋅◇

also $5$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $5$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $5$ ²

somit gilt: ☐= $25$