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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(6 c + 1)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(6 c + 1)}^{2}$ = ${(6 c)}^{2} + 2 \cdot 6 c \cdot 1 + 1^{2}$ = $36 c^{2} + 12 c + 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $9 x^{2} - 64$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $9 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $3 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(3 x + 8) \cdot (3 x - 8)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(3 x + 8) \cdot (3 x - 8)$ = $3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot (- 8) + 8 \cdot 3 x + 8 \cdot (- 8)$ = $9 x^{2} - 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $3 x^{2} + 12 x + 12$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$3 x^{2} + 12 x + 12$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $3$ aus.

$3 (x^{2} + 4 x + 4)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$3 {(x + 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 10 x + ☐$

Der gemischte Term $10 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$10 x$ = 2⋅x⋅◇

also $5$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $5$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $5$ ²

somit gilt: ☐= $25$