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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(7 - 9 v)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(7 - 9 v)}^{2}$ = $7^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 9 v + {(9 v)}^{2}$ = $49 - 126 v + 81 v^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $9 x^{2} - 64$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $9 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $64$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $3 x$ und für b dann $8$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(3 x + 8) \cdot (3 x - 8)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(3 x + 8) \cdot (3 x - 8)$ = $3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot (- 8) + 8 \cdot 3 x + 8 \cdot (- 8)$ = $9 x^{2} - 64$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $2 x^{2} - 8 x + 8$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$2 x^{2} - 8 x + 8$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $2$ aus.

$2 (x^{2} - 4 x + 4)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$2 {(x - 2)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 8 x + ☐$

Der gemischte Term $8 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$8 x$ = 2⋅x⋅◇

also $4$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $4$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $4$ ²

somit gilt: ☐= $16$