Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

Durch Aktualisieren des Browsers (z.B. mit Taste F5) kann man neue Beispielaufgaben sehen

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(7 a - 3)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

2. binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

anwenden kann.

also ${(7 a - 3)}^{2}$ = ${(7 a)}^{2} - 2 \cdot 7 a \cdot 3 + 3^{2}$ = $49 a^{2} - 42 a + 9$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $25 x^{2} + 10 x + 1$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $10 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des positiven Vorzeichens des gemischten Terms ( $10 x$ ) bleibt nun nur noch die
1. Binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $25 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $1$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $5 x$ und für b dann $1$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $10 x$ = 2⋅ $5 x$ ⋅ $1$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(5 x + 1)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(5 x + 1)}^{2}$ = $5 x \cdot 5 x + 5 x \cdot 1 + 1 \cdot 5 x + 1 \cdot 1$ = $25 x^{2} + 10 x + 1$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 3 x^{2} + 24 x - 48$

$- 3 x^{2} + 24 x - 48$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 3$ aus.

$- 3 (x^{2} - 8 x + 16)$

Durch Anwendung der 2. binomischen Formel erhalten wir:

$- 3 {(x - 4)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + ☐ + 4$

Der hintere Term $4$ muss ja wegen der Binomischen Formel b²=b⋅b, also in diesem Fall ◇⋅◇ sein.

also $4$ = 2⋅2 = ◇⋅◇

somit gilt: ◇=2

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den mittleren Summanden ☐=2ab, also in diesem Fall ☐=2⋅x⋅◇=2⋅x⋅2

somit gilt: ☐= $4 x$