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Aufgabenbeispiele von Binomische Formeln

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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
$(3 r + 6) \cdot (3 r - 6)$

Man erkennt sofort, dass in beiden Klammern jeweils die gleichen Summanden drin stecken und man somit die

3. binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²

anwenden kann.

also $(3 r + 6) \cdot (3 r - 6)$ = ${(3 r)}^{2} - 6^{2}$ = $9 r^{2} - 36$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 t^{2} - 16$

Schon alleine an der Anzahl der Summanden (nämlich nur 2) erkennt, dass hier nur die
3. Binomische Formel: (a+b)(a-b)=a²-b²
möglich ist.

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 t^{2}$ ) als auch der letzte ( $16$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 t$ und für b dann $4$ einsetzen

Und tatsächlich passen auch die Vorzeichen

Das Ergbenis wäre dann also: $(4 t + 4) \cdot (4 t - 4)$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also $(4 t + 4) \cdot (4 t - 4)$ = $4 t \cdot 4 t + 4 t \cdot (- 4) + 4 \cdot 4 t + 4 \cdot (- 4)$ = $16 t^{2} - 16$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $- 2 t^{2} - 12 t - 18$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$- 2 t^{2} - 12 t - 18$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $- 2$ aus.

$- 2 (t^{2} + 6 t + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$- 2 {(t + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} + 2 x + ☐$

Der gemischte Term $2 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$2 x$ = 2⋅x⋅◇

also $1$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $1$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $1$ ²

somit gilt: ☐= $1$