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Aufgabenbeispiele von Ausmultiplizieren, Ausklammern

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Ausklammern (nur Zahlen)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $27 x + 12$

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$27 x + 12$

= $3 \cdot 9 x + 3 \cdot 4$

Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor $3$ ausklammern und erhalten:

= $3 (9 x + 4)$

Ausklammern

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $- 8 x^{2} + 2$

Lösung einblenden

Zuerst suchen wir eine möglichst große Zahl, die beide Koeffizienten teilt (ggT) und spalten die Koeffizienten in Produkte auf.

$- 8 x^{2} + 2$

= $2 \cdot (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 1$

Jetzt können wir den gemeinsamen Faktor $2$ ausklammern und erhalten:

= $2 (- 4 x^{2} + 1)$

Ausklammern (2 Var.)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $9 r^{2} s + 3 r s^{2}$

Lösung einblenden

$9 r^{2} s + 3 r s^{2}$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $9 r \cdot r \cdot s + 3 r \cdot s \cdot s$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $r \cdot s$ vorkommt.

Wir können also $r \cdot s$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ auch in $9$ = $3$ ⋅ $3$ vorkommt.

= $3 r \cdot s \cdot (3 r + s)$

Ausklammern (3 Summanden)

Beispiel:

Klammere möglichst viel aus: $3 u^{2} - 9 u - 9 u v$

Lösung einblenden

$3 u^{2} - 9 u - 9 u v$

Zuerst zerlegen wir die Summanden in ihre Einzelbestandteile

= $3 u \cdot u - 9 u - 9 u \cdot v$

Dabei erkennen wir, dass in beiden Summanden $u$ vorkommt.

Wir können also $u$ ausklammern.

Außerdem können wir die Zahl $3$ ausklammern, weil die $3$ auch in $- 9$ = $3$ ⋅ $(- 3)$ und in $- 9$ = $3$ ⋅ $(- 3)$ vorkommt.

= $3 u \cdot (u - 3 - 3 v)$

Faktor mal Klammer (Wdh.)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $- 5 x \cdot (3 x + 3)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren den ersten Faktor $- 5 x$ mit der Summe $3 x + 3$ indem wir $- 5 x$ mit jedem Summanden von $3 x + 3$ multiplizieren.

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$- 5 x \cdot (3 x + 3)$
= $- 5 x \cdot 3 x - 5 x \cdot 3$
= $- 15 x \cdot x - 15 x$
= $- 15 x^{2} - 15 x$

Ausmultiplizieren (2 Variablen)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $(5 y - 3 x) \cdot (6 + 4 x)$

Lösung einblenden

Wir multilpizieren die beiden Summen in dem wir jeden Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer multiplizieren:

$(5 y - 3 x) \cdot (6 + 4 x)$
= $5 y \cdot 6 + 5 y \cdot 4 x - 3 x \cdot 6 - 3 x \cdot 4 x$
= $30 y + 20 y x - 18 x - 12 x^{2}$

Ausmultiplizieren (mit Bruchkoeff.)

Beispiel:

Multipliziere den folgenden Term aus: $(\frac{1}{4} x - 2) \cdot (x - 8)$

Lösung einblenden

Wir multiplizieren jeden Summand des ersten Faktors $\frac{1}{4} x - 2$ mit jedem Summand des zweiten Faktors $x - 8$ .

Dabei muss man sehr sorgsam die Vorzeichen beachten.

$(\frac{1}{4} x - 2) \cdot (x - 8)$
= $\frac{1}{4} x \cdot x + \frac{1}{4} x \cdot (- 8) - 2 \cdot x - 2 \cdot (- 8)$
= $\frac{1}{4} x \cdot x - 2 x - 2 x + 16$
= $\frac{1}{4} x^{2} - 4 x + 16$